数学家的墓志铭
故事从古罗马说起。
很久很久以前，在埃及的亚历山大港，流传下一篇迷一样的墓志铭：
行人啊，请稍驻足，这里埋葬着丢番图。
上帝赋予他一生的六分之一，享受童年的幸福。
再过十二分之一，两鬓长胡。
又过了七分之一，燃起结婚的蜡烛。
爱子的降生盼了五年之久。
可怜那迟来的儿郎，只活到父亲岁数的一半，便进入冰冷的坟墓。
悲伤只有通过数学来消除。
四年后，他自己也走完了人生的旅途。
这是古代世界著名的数学家丢番图（Diophantus）的墓志铭。
那么问题来了，他活了多少岁呢？你可能会敏锐地注意到，他的年龄需要是 12 和 7 的倍数。于是，84 岁是一个合理的猜测。再代入验证一下，会发现的确符合描述！所以丢番图活了 84 岁。
时间拉回到现代。“鸡兔同笼”问题很多人都遇到过：
今有鸡兔同笼。
上有三十五头，下有九十四足。
鸡兔各几何？
假设我们吹一声哨子，动物们都会抬起一只脚，于是地上便少了 35 只脚。再吹一声又少 35 只。此时鸡已经都飞起来了，还剩 24 只脚一定都是双脚站立的兔子的！所以兔有 12 只，鸡便有 23 只。
这两个问题都很简单嘛，分分钟解决！然而我们必须意识到，我们虽然解出了这两个问题，但使用的是两种精巧、特定的思路，并未诉诸一种普适的方法。于是，若问题中的数字换了换，或者问题的结构不一样了，我们又得苦苦寻求新的解答。我不知道你是怎样的，反正我是不爱动脑子。能无脑解出来的问题，干嘛要动脑筋呢？这个能让我们无脑解决问题的东西，就叫方程（为了区别下文将使用的数学意义上的定义，我们把基于直观认知的描述称为概念）。
概念：方程（equation）是含有未知量的等式。
我记得这是小学数学课本上给出的定义，不得不说，十分恰当。
换言之，只要我们将问题翻译成含有未知量的等式，那么我们就得到了一个方程！诚然不同文明曾经都有各自表示未知量的方法，现代通行的做法是使用罗马字母
a, b, c, d, · · ·
A, B, C, D, · · ·
与希腊字母
γ, δ, λ, σ · · ·
Γ, ∆, Λ, Σ, · · ·
我们也遵循之。于是，如果设丢番图的年龄是 n 的话，他的墓志铭翻译过来无非就是如下这一行等式：
同样，如果记鸡有 a 只，兔子有 b 只，那么鸡兔同笼问题就是如下这两个等式：
a + b = 35
2a + 4b = 94
一般的，所谓列方程，其实就是在将问题陈述的事实翻译成数学等式。翻译完成后，我们便可以利用数学理论、工具与技巧来研究它，以期解出我们的未知量。
如果你觉得方程也就上面两例那么回事，太简单，不值一提，那就大错特错了！
下面再举一例，不过我们有言在先，这纯粹是一个独立的例子：
这是描述氢原子的薛定谔方程（Schrodinger equation），是量子力学奠基性的经典方程。其中大部分字母都是数学与物理常数，包括¯h, µ,e, π, ϵ0，剩下的ψ (r, θ, ϕ) 与 E 是我们要求解的未知量。
后者是一个数，前者是一堆数，由r, θ, ϕ 三个参量标识，它们不同的取值都有一个对应的 ψ 的取值。换句话说，ψ 是一个所谓未知函数。∇ 是一个作用在函数上的算符，描述函数的变化。
这个方程在历史上有着里程碑式的意义。20 世纪以来，随着实验设备越来越先进，微观世界的大门被逐渐打开。物理学家们惊讶地发现，眼前看到的是一片前所未见的神秘世界，微观粒子的行为完全不能用过去那套针对宏观物体的方程来描述，曾经被认为像小球一样的那些粒子（particle），有时却会表现出波（wave）的特性。于是，各路英雄豪杰开始提出各种新的理论与假说。
最终，1925 年，薛定谔提出了如今以他的名字命名的薛定谔方程，用所谓波函数（wave function）——即上文中方程中我们要求解的 ψ——来描述微观粒子。
从这个方程出发，如今人们已经建立了一套非常宏大的量子理论，完美描述了微观尺度的宇宙。氢原子由一个原子核伴以一个电子构成，算是最简单的微观系统了，自然成为了初生的量子理论小试牛刀的对象。不用怀疑，人们找到了氢原子薛定谔方程的解，并用实验验证了它的确更好地描述与解释了我们所观测到的自然！
于是，下一个问题便来了，那到底什么是方程的解呢？
薛定谔的氢原子
我们说上面这个方程的解是 n = 84，意思是把 n 替换成 84 代入式子的两边，等式成立。
a + b = 35
2a + 4b = 94
同样，说上面方程的解是 a = 23，b = 12，意思是将它们代入式子后，两个等式均成立。于是，我们可以将方程的解归纳为如下概念。
概念：方程的解（solution）是使得方程所述等式成立的对未知量的赋值。
我们都不难意识到：这样的赋值可能找不到，方程可能无解！比如下面这个方程：
x + 1 = 0
一个小朋友可能会说它无解，因为 0 已经是最小的数了，怎么可能有一个数加上 1 才等于它？然而，等到老师教了负数后，他便会意识到，这个方程可以有解 x = −1。不久，他又遇到了一个新的方程：
2x = −1
一个数的两倍肯定是个偶数呀，怎么可能等于 −1 呢？不急，到学了分数后，解就又有了，即 x = −1/2。
很快又一个方程冒了出来：
好的，我读书再少，可任何数的平方都是非负的，这不会有错吧？！这个方程肯定没解！谁料，等上到高中读了理科，便会学到一种叫“复数”的数。你说解不存在？好，我们引入一个符号 i，规定它满足性质 i的平方 = −1。于是，现在i 就是这个方程的解了！有点赖皮？别急，在后文我们将会看到，这个小小的i 背后可是隐藏着非常深刻的抽象！
这还没完，前面方程的解都是一个个看得见摸得着直截了当的数，那下面这个方程呢？
利用五倍角公式
求出x = sin 6◦
没错，是一个用所谓三角函数表示的值。没人规定方程的解一定要是“数”呀，它完全可以是一个表达式，而且可能超级复杂。就再拿我们的氢原子薛定谔方程来说吧。
它的解是：
其中，等号左边就是我们要求的未知函数 ψ (r, θ, ϕ)，但是你注意到没有，它有三个下标 n, l, m，这表示我们不仅有一个解，而是有一堆解，每一个合法的(n, l, m) 就标识了一个解。物理上，这三个数叫量子数（quantum number），它们的取值为
• n = 1, 2, 3 · · ·
• l = 0, 1, 2, · · · , n − 1
• m = −l, · · · , l
所以，
等都是解，它们描述了特定状态下的氢原子。等号右边自然给出了解的具体表达式，显然它不是一个简单的数。
根号下是一些常数，
是参量 ρ 的简单函数，也还好，而 L 和 Y 这两个人畜无害的字母可就复杂了。
是所谓广义拉盖尔多项式（generalized Laguerre polynomials）的一项，由上标 2l + 1 与下标 n − l − 1 标识。这个多项式的一般项还不是直接写出的，而是递归定义出来的：
所谓递归定义，就是说我们若想知道
，此时下标 3 不等于 0 或 1，于是我们套用定义中的第三个式子，令 α = 3、k = 2，发现
是由
和
算出来的。
进而，我们去计算
和
，会发现它们又依赖于
和
。
我们不需要再循环重复了，因为这两项是由第一行和第二行显式定义出来的。
很复杂了是不是？更复杂的来了。
除了又一堆复杂的系数外，还冒出了一个东西 Plm。它叫伴随勒让德多项式（associated Legendre polynomials）。它是怎么被定义的呢？既不是显式写出来，也不是递归定义的，而是用了一个取巧的办法——定义为另一个多项式的高阶导数：
右边那个新的东西 Pl(x) 叫勒让德多项式（Legendre polynomials），是一个微分方程的解，显式写出来的话长成这个样子：
终于，到此为止，我们解释完了氢原子薛定谔方程的解中的全部记号！我们用满足一定规则的数组标识无穷多组解，用到了加减乘除、根号、乘方、阶乘等复杂的代数计算，用到了递归定义与间接定义的多项式，用到了微积分中的求导……
千言万语，汇成一句话：
方程的解可以非常复杂。
哦对了，说了半天“解”，那方程的“根”是啥？没啥，它就是解，二者是一回事，同义词。
